更新时间：2024-04-15 16:17
在1614年开始有对数概念，约翰·纳皮尔以及Jost Bürgi（英语：Jost Bürgi）在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念。1742年William Jones（英语：William Jones (mathematician)）才发表了幂指数概念。按后来人的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而约翰·纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。
1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数。
大名鼎鼎的牛顿后来也研究过对数。现在的对数记号是大数学家欧拉在 1748年引入的，他首先开 始了对指数函数做深入的研究。复变函数的建立，使得人们对对数有了彻底的了解。
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：。
当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，在对数表中出现并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。
常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
自然对数的底e是由一个重要极限给出的。定义：当n趋于无穷大时， .
e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。
当自然对数 中真数为连续自变量时，称为对数函数，记作 （x为自变量，y为因变量）。
历史上自然对数y=lnx的产生要比e要早些，当时人们对于微分和不定积分的求法已经熟知，并且很早就得到了幂函数的不定积分表达式。但对于n=-1的情况，因n=-1代入幂函数的不定积分表达式中将使分母为0，所以该如何求原函数，或者说到底该如何积分，数学家们采用了多种方法均无法得到满意的回答。
例如采用分部积分法，
两边减掉，将得到0=1的结论。
于是数学家们想到了利用积分变限函数来给出的原函数，即定义一个新的函数
根据这个定义立刻可以知道。并且根据可导必连续的性质，lnx在(0,+∞)上处处连续、可导。其导数为(1/x)>0，所以在(0,+∞)单调增加。又根据反常积分和分别发散至可知，函数的值域为R。虽然这与现代对数函数的运算法则和性质相符，但当时人们并没有意识到这就是对数函数，并且以e为底。
接下来人们便开始考虑y=lnx的反函数的问题。设y=lnx的反函数为x=f(y)，由反函数的求导法则可知，
如果用x来表示自变量，y来表示因变量，那么自然对数的反函数y=f(x)满足一个非常重要的性质：
即这个函数求导后仍得到它本身，并且当x=0时，y=1，这个函数写作 。
由反函数的性质可知y=exp(x)是定义在R上的单调递增并且处处连续、可微的函数，其值域为(0,+∞)。由于exp(x)求导后得到它自身并且exp(0)=1，便可不断地重复该步骤，通过幂级数的知识可知exp(x)能在R上展开成麦克劳林级数：
那为什么后来人们会发现 呢？这是因为当人们在求指数函数y=ax的导数时，采用了这样的方法：
根据复合函数的求导法则， 。当a=e时， 。上文说过，在发明自然对数时，人们不知道y=lnx与e之间的关系，所以不知道lne=1。但是，利用 ，结合归结原则有 ，于是：
所以：
由于 与 求导以后都得到 ，根据原函数的性质， ，C为积分常数。将x=0代入等式两端，有1=1+C，C=0，即证明了 。
数学家们才恍然大悟，原来 与 有着千丝万缕的联系，并且知道了 是对数函数的一种，其底为e。又利用 ，得到了
令x=1，则又得到了一个关于e的定义式：
当然，根据 ，也可以将e定义为使 的x的取值。
数学讲求规律和美学，可是圆周率π和自然对数e那样基本的常量却那么混乱，就如同两个“数学幽灵”。人们找不到π和e的数字变化的规律，可能的原因：例如：人们用的是十进制，古人掰指头数数，因为是十根指头，所以定下了十进制，而二进制才是宇宙最朴素的进制，也符合阴阳理论，1为阳，0为阴。再例如：人们把π和e与那些规整的数字比较，所以觉得e和π很乱，因此涉及“参照物”的问题。那么，如果把π和e都换算成最朴素的二进制，并且把π和e这两个混乱的数字相互比较，就会发现一部分数字规律，e的小数部分的前17位与π的小数部分的第5-21位正好是倒序关系，这么长的倒序，或许不是巧合。
说明[ ]符号内为17位倒序区。
二进制π取部分值为11.0010[01000011111101101]010100010001000010110100011
二进制e取部分值为10.[10110111111000010]101000101100010100010101110110101
17位倒序区的意义：或许暗示e和π的发展初期可能按照某种彼此相反的规律发展，之后e和π都脱离了这个规律。但是，由于2进制只用0和1来表示数，因而出现相同，倒序相同，栅栏重排相同的情况不足为奇，虽然这种情况不一定是巧合，但思辨性结论不是科学结论，不应该作为科学证据使用。
问题：求复数 的对数，规定 为 的幅角主值。
解答：
设有一复数 ，其通过指数函数 将 映射为 。
∴
由复数相等的定义，得到：
所以 ，即
记 为对数函数，可以看到在复数中对数函数是多值函数（即一个自变量对应多个因变量），并且有无数个分支。特别地，当k=0时，称 为对数函数的主值支，此时用记号 来表示。
即w的实部为z的模取自然对数，虚部为z的幅角主值。这就是当真数为复数时的对数运算公式。注意，因为实部需要对z的模取自然对数，因此r≠0。在复平面上只有0这个复数的模为0，其他任何复数的模都大于0，所以在复数域中，除了z=0以外所有的复数都可以求对数。
例：求ln(-1)
解：-1=cosπ+isinπ，其模为1，幅角主值为π。代入公式得：
由此可见 ，即 ，这就是欧拉恒等式。
前面已经说过，自然对数可以利用双曲线下的面积来理解。由双曲线图象，可知：
当时，。
当时，，也就是说。
所以说：
当时，。
当时，。
由双曲线图象，可知：
当时，。
当时，。
所以说：
，其中等号当且仅当时成立。
由双曲线图象，可知：
当时，。
当时，。
所以说：，其中等号当且仅当时成立。
证明
当为正数时，。
证明
当为大于1的正整数时，。
证明
，。
证明
因为，所以，所以，所以，所以。
所以：
所以，从而有。
，其中等号当且仅当时成立。
证明
，其中等号当且仅当时成立。所以命题成立。
若，则。
证明
因，所以
当时，。换言之，函数在上严格单调递减。
证明
由推论六，。
所以
所以
当时，。换言之，函数在上严格单调递增。
证明
由推论六，。
所以
所以
当时，。
证明
由推论六，。所以。
由于，所以，所以。
所以，所以。
当时，，，。换言之函数在上严格单调递减。
证明
因，。
，所以，所以，所以。
所以
所以，。